Родился грузинский авторитетный «вор» в 1961 году, в местечке под названием Хамискури, расположенном недалеко от Хоби. Впервые осужден был в 1980-ом, в девятнадцатилетнем возрасте. За кражу его приговорили к трем годам. В 1981 году в заключении он был коронован тремя «законниками». Самое удивительное, что все трое были однофамильцами — Баркалая Важа («Важа Сенакский»), Фридон («Цанцико») и Тамази («Котома Сенакский»). Возможно, они и приходились друг другу какими-то дальними родственниками, но история об этом умалчивает.
В 1985 году в Зугдиди Кукава был задержан и осужден на три года за сопротивление представителю власти. Так просто он в руки оперативникам не дался в тот раз, за что и схлопотал срок. В 1990-ом его отправили в СИЗО за намеренное нарушение требований административного надзора, но в 1991-ом «Джураб» сбежал из изолятора. Задержали его только в 1994 году. А в 1996 году он покинул в Грузию и перебрался сначала в Москву, а затем в Смоленск, где и осел.
У Бежана были прочные связи со многими грузинскими авторитетами. Он стал усиливать свое влияние в регионе и ставить своих «смотрящих» в районах. Разумеется, это не всем понравилось, и авторитета пытались устранить. Во время первого покушения стреляли через входную дверь в квартиру. От пуль Кукаву закрыла жена, получив серьезные ранения и впоследствии с трудом выжив в больнице.
В 1997-ом авторитета задержали с оружием, но судом дело не закончилось. В 1999 году Бежан попал в СИЗО с обвинением в самоуправстве и принуждении к даче ложных показаний. Он увидел в каких жестких условиях содержались там заключенные — в перенаселенных камерах, с забитыми железными щитами окнами, в грязи и духоте. Кукава решил организовать бунт, чтобы добиться изменения условий содержания.
Суд приговорил Бежана к двум годам и отбывать наказание он отправился в Коми. Вернувшись, он стал рассказывать всем, включая журналистов, об условиях в смоленском СИЗО, в итоге в 2001 году все же поднял заключенных на голодный бунт, продлившийся три дня. Прокурорская проверка показала нарушения в СИЗО, разразился скандал и условия для заключенных в изоляторе все же изменили к лучшему. Бежана даже пустили внутрь тюрьмы, чтобы он поговорил с заключенными и прекратил голодовку.
Не прошло и месяца после этого, как авторитет был застрелен на одной из улиц Смоленска. Похоронили его на родине, в Хамискури.
